FMC2, 2023.1: turma de Thanos

Horários de aula:	246N12 [18h45–20h25]
Sala:	A102
Contato:	thanos@imd.ufrn.br
Playlists:	FMC2: ( CFR \| IEA ) Pré-reqs: ( Intro \| IDMa \| IRI \| IDMb )
Monitoria/TA:	fmc.imd.ufrn.br
Turmas anteriores:	..

Info

Pré-requisitos

É essencial¹ ter aprendido bem o conteudo transversal de FMC1. Sem aprender esses assuntos primeiro, não faz sentido se matricular em FMC2.

¹ Imagine chegar em Polo Aquático II, sem ter aprendido mesmo as Natação I e II primeiro; ainda mais sem sequer ter entrado na agua na sua vida inteira!

(Obs.: aprender ≠ passar.)

Então—ANTES de começar—é bom ter estudado:

FMC1-Intro: cap. 1,2 do fmcbook, playlist;
FMC1-IDMa: cap. 3 do fmcbook, playlist;
FMC1-IRI: cap. 4 do fmcbook, playlist;
FMC1-IDMb: cap. 6 do fmcbook, playlist.

Além disso, é necessário que os alunos matriculados têm tempo e vontade para estudar, fazer os (muitos) trabalhos atribuídos, etc.

(Obs.: estudar ≠ ler.)

Antes de começar é bom dar uma lida nos:

Comments on style de Munkres.
A parte Writing mathematics do livro The tools of mathematical reasoning, de Lakins.

Conteúdo

A disciplina FMC2 será dividida em 3 módulos–unidades. Essa divisão é influenciada pelos módulos correspondentes à FMC2 baseados nos módulos correspondentes desta proposta.

CFR1: Conjuntos, Funções (30h)

Especificações e implementações matemáticas de coleções (conjuntos, ênuplas, multiconjuntos, sequências), e de suas principais operações e predicados; extensão vs intensão. A notação construtor-de-conjunto (set-builder) e sua interpretação. Implementação da noção de cardinalidade, no caso finito. Operações sobre coleções, finitas ou não, de conjuntos: união, interseção, produto e coproduto de conjuntos (produto cartesiano e união disjunta). Para o caso de coleções finitas, definições recursivas e demonstrações indutivas das suas propriedades. Complemento relativo, diferença simétrica. Conjunto potência. Especificações de famílias indexadas. Operações sobre famílias indexadas de conjuntos. Coberturas e partições. Especificações e implementações matemáticas de associações (funções parciais, totais, e não-determinísticas); extensão vs intensão. Funções vs procedimentos em programação; funções puras e efeitos colaterais. Funções anônimas (notação lambda). Funções de ordem superior, e funções como cidadãos de primeira classe. Curryficação e aplicação parcial de funções. Função identidade, composição de funções, iterações de uma função. Função inclusão, função vazia, função 0-ária, função constante. Projeções e demais funções associadas ao produto e ao coproduto de conjuntos (pairing, copairing, …). Funções indicadoras (ou características). Restrições de funções. Imagem direta e pré-imagem de conjuntos. A inversão de uma função, e a função inversa.

CFR2: Funções, Relações (30h)

Funções injetivas e sobrejetivas, monos e epis. Retrações e seções. Condições de invertibilidade de uma função. O teorema de Cantor sobre a cardinalidade do conjunto potência, e as cardinalidades transfinitas. Breve introdução à teoria da computabilidade: funções computáveis, números computáveis, e conjuntos computáveis; semi-decidibilidade e decidibilidade. Relações e a sua implementação conjuntista. Operações sobre relações, com ênfase no caso binário: inversa, composição, iterações, fechos. Descrição e propriedades do fecho transitivo: usando interseção (top-down) e usando união (bottom-up). Exemplos de conjuntos estruturados. (e.g. espaços normados, espaços métricos, espaços topológicos, espaços de medida, grafos). Relações de equivalência e partições, classes de equivalência, e o conjunto quociente. Equivalências mais finas e mais grossas, e a relação de equivalência induzida pelo núcleo de uma função. Construções de classes de números usando quocientes. Relações de ordem: pré-ordens, ordens parciais e ordens estritas, ordens totais, elementos minimais e elementos maximais, supremos e ínfimos. Cadeias e funções que preservam ordem. Reticulados e reticulados completos. Ordens parciais completas. A construção de uma função a partir do limite de uma cadeia de funções parciais. Relações bem-fundadas: definição usando cadeias e definição usando elementos minimais, conexão com recursão e indução. Relações bem-fundadas induzidas pela imagem inversa de uma relação bem-fundada, pelo produto lexicográfico de relações bem-fundadas, e pelo fecho transitivo de uma relação arbitrária. Os Fundamentos da Matemática: uma breve introdução à Teoria Axiomática dos Conjuntos.

IEA: Introdução a Estruturas Algébricas (30h)

Grupos (6h) Permutações: notação de cíclos e verificação das leis de grupo para os Sₙ. De Sₙ para grupos: definições alternativas de grupo baseadas em assinaturas diferentes; notação, exemplos e não-exemplos, incluindo casos numéricos (em particular da aritmética modular), famílias de conjuntos, espaços de funções e relações, strings. Definições de grupo abeliano, monóide, semigrupo, magma. Definição de teoria e de modelo, e as primeiras conseqüências (teoremas) das leis (axiomas) dos grupos: unicidade de identidade e dos inversos, leis de cancelamento e de resolução de equações, inverso da identidade, de inversos, e de produtos, e sua expressão com diagramas comutativos. Independencia de axiomas: como demonstrar a não-demonstrabilidade. Critérios para verificar se uma estrutura é um grupo. Como definir um grupo: tabelas de Cayley. Construções: o produto direto de grupos, grupo livre. Potências (com expoentes de naturais até inteiros) e ordem de membro de grupo incluindo demonstrações das suas propriedades (por indução e usando o lema da divisão de Euclides).
Subgrupos e o grupo quociente (6h) Subgrupos: definição, exemplos, nao-exemplos, critérios; “subgrupo de” como relação de ordem; propriedade de interseção de subgrupos; relações de equivalência determinadas por subgrupos. Subgrupo gerado por subconjunto: como definir tanto top-down quanto bottom-up e demonstração por indução da sua equivalência. Exemplos fora da teoria dos grupos, incluindo conjuntos convexos e o fecho convexo. Congruência (modulo subgrupo) e coclasses. Verificação que se trata de relação de equivalencia e partição. Subgrupos normais: definições alternativas e verificação da sua equivalencia. O grupo quociente. O teorema de Lagrange e o indice dum subgrupo num grupo. Aplicações em teoria dos números incluindo obter o teorema de Euler (e logo o pequeno Fermat também) como corolário de Lagrange.
Homomorfismos e isomorfismos (6h) Simetrias, os grupos simetricos, e os diagramas Hasse dos reticulados dos seus subgrupos. Homomorfismos e preservação da estrutura algebrica. Critérios de homomorfismos para grupos. Monomorfismos, epimorfismos, isomorfismos, endomorfismos, e automorfismos. O grupo Aut(G). Núcleo, imagem, e o primeiro teorema de isomorfismos de Noether para grupos. Um esboço do teorema de representação para grupos (teorema de Cayley).
Outras estruturas (6h) Outras estruturas, seus primeiros teoremas e as definições de homomorfismo: semigrupo, monoide, anel, anel booleano. O monoide livre e o fecho de Kleene (Kleene star). Corpos, corpos ordenados completos e o enunciado da sua unicidade a menos de isomorfismo (os números reais). Espaços Vetoriais. Reticulados como álgebras. Construções e mapeamentos (monotonos, order-embeddings, e ordem-isomorfismos). O reticulado de subgrupos e de subgrupos normais. Homomorfismos e subreticulados. Reticulados booleanos. Enunciado do teorema de representação de Stone. Algebras de termos.
Categorias (6h) Definição de categoria e exemplos, incluindo categorias associadas à programação e à lógica, e categorias a partir de preordens e posets. Dualidade e a definição de categoria oposta. Mono, epi, split mono, split epi, e iso. Definições (como especificações) por propriedades universais e diagramas comutativos: objetos terminais e inicias, produtos e coprodutos. Suas unicidades a menos de isomorfismo. Subobjetos, objetos quocientes, objeto livre, e suas propriedades universais. Verificação da sua existencia nas categorias encontradas.

Objetivos de aprendizagem

CFR1: Conjuntos, Funções

Prática com o uso das técnicas de demonstração e refutação matemática. Familiarização com a linguagem e com as principais classes, operações e propriedades de conjuntos e funções, definidas extensionalmente ou intensionalmente. Familiarização com as noções do cálculo lambda usadas em programação e lógica: variáveis ligadas e livres, captura de variáveis, renomeamento de variáveis, sombreamento de variáveis, aplicações de funções aos seus argumentos. Reconhecer os objetos matemáticos relevantes às linguagens de programação e suas propriedades. Familiarização com a formulação de especificações, e suas implementações matemáticas. Familiarização com o uso de diagramas comutativos em definições e demonstrações, e com especificações via propriedades universais.

CFR2: Funções, Relações

Prática com a escrita de especificações matemáticas e com o uso das técnicas de demonstração matemática, incluindo o método da diagonalização. Familiarização com as principais classes, operações e propriedades de relações. Familiarização com cardinalidades de conjuntos infinitos. Apreciar a conexão entre especificação e implementação. Familiarização com o raciocínio “sem pontos” (a saber, sem mencionar elementos dos conjuntos), através do composições de funções, e suas aplicações em programação.

IEA: Introdução a Estruturas Algébricas

Compreensão do papel da álgebra no estudo de estruturas de interesse computacional. Prática das técnicas de demonstração matemática e do uso do raciocínio equacional. Apreciar a conexão entre axiomas e seus modelos, e o conceito de independência lógica. Familiarização com a linguagem básica e as idéias elementares da Teoria das Categorias, incluindo o uso de diagramas comutativos para expressar proposições (leis e teoremas), especificações e definições.

Bibliografia e referências

Conhece o libgen?

Principal

Eu: Matemática fundacional para computação [fmcbook] (Capítulos 7,8,10,12,13,15,16,17)

Para cada um dos assuntos que tratamos, procure também a secção «Leitura complementar» no capítulo correspondente do fmcbook para mais referências.

CFR1: Conjuntos, Funções

CFR2: Funções, Relações

IEA: Introdução a Estruturas Algébricas

Aluffi (2009): Algebra, Chapter 0 (Cap: II)
Herstein (1975): Topics in Algebra, 2nd ed.
Halmos & Givant (2009): An introduction to Boolean Algebras
Birkhoff & Mac Lane (1977): A Survey of Modern Algebra, 4th ed.
Mac Lane & Birkhoff (1999): Algebra, 3rd ed.
Davey & Priestley (2002): Introduction to Lattices and Order, 2nd ed.
Barr & Wells (1998): Category Theory for Computing Science, 2nd ed., 2020 reprint

Auxiliar

Goldblatt (1979): Topoi
Crole (1993): Categories for Types (Cap: 1,2,3)
Lawvere & Schanuel (2009): Conceptual Mathematics, 2nd ed.
Barr & Wells (1998): Category Theory for Computing Science, 2nd ed., 2020 reprint
Bird & de Moore (1997): The Algebra of Programming
Halmos (1960): Naive Set Theory
Wells (1993): Communicating Mathematics: Useful ideas from computer science (in American Mathematical Monthly, Vol 120, No. 5, pp.397–408)

Dicas

James Munkres: Comments on style
Jean-Pierre Serre: How to write mathematics badly
Don Knuth: Mathematical writing
Paul Halmos: How to write mathematics
Por que tantos livros? Qual é o melhor? Vale a pena ler esse excerto do livro Linear Algebra de Jänich.

Tecnologias e ferramentas

Obs.: As tecnologías/ferramentas seguintes podem mudar durante a disciplina—exceto a primeira.

PAPEL (um caderno para dedicar à disciplina) e LAPIS/CANETA.
Zulip (leia o FAQ).
Pouco de (La)TeX (veja o minicurso TeX 2018.2). Online editor/compilador: Overleaf.

Regras

Nunca escreva algo que você mesmo não sabe explicar: (i) o que significa; (ii) seu papel na tua resolução. Por exemplo: um aluno escreveu a frase seguinte na sua demonstração: «Como f é cancelável pela esquerda temos que g=h». Ele deve saber o que significa ser cancelável pela esquerda e também explicar como isso foi usado e/ou o que isso tem a ver com essa parte da sua demonstração.
Qualquer trabalho poderá ser questionado em forma de prova oral, em modo privado ou aberto. Se um aluno não consegue explicar o que ele mesmo escreveu numa resolução, será considerado plágio (veja abaixo).
Participando, nunca dê uma resposta que tu não pensou sozinho, exceto dando os créditos correspodentes.
Não tente “forçar a barra” perguntando ou respondendo coisas aleatórias com objetivo único de ganhar pontos. Os pontos de participação não correspondem em apenas perguntas ou dúvidas que mostram interesse. O interesse é implícito pelo fato que tu escolheu matricular nesta turma—não vale pontos.
Não procurem resoluções em qualquer lugar fora dos indicados em cada homework. O único recurso aceitável para procurar ajuda é no nosso Zulip (especificamente seus canáis públicos—não DM) e a monitoria.
Proibido consultar o apêndice de resoluções do fmcbook durante a disciplina exceto quando for explicitamente permitido por mim. (Os apêndices de dicas são permitidos sim.)

Uns deveres dos alunos

Visitar o site e o Zulip da disciplina pelo menos uma vez por dia durante o semestre. (Qualquer coisa postada no site ou no Zulip da disciplina será considerada como conhecida por todos os alunos da turma.)
Estudar o conteúdo lecionado e tentar resolver todos os trabalhos atribuidos.
Participar no Zulip diariamente, compartilhando tuas resoluções para receber feedback, e checando as resoluções de outros colegas para dar feedback.
Checar e atender seu email cadastrado no SIGAA pelo menos uma vez por dia durante o semestre.
Participar nas aulas! Obs.: tendo uma dúvida durante a aula, levante a mão para solicitar “a fala” e assim que a receber, pergunte! Não espere o fim da aula para discutir tua dúvida em “modo particular”! A maioria das vezes eu vou negar isso e pedir ao aluno iniciar a discussão no Zulip ou na próxima aula.
Participar nas aulas de exercícios de monitoria e utilizar seus horários de tirar dúvidas.

(Veja também os FAQs relevantes.)

Sobre plágio

Plágio detectado implica que o aluno será reprovado imediatamente por nota e por faltas.
Entregar tuas resoluções para um aluno copiar é proibido do mesmo jeito, e também não ajuda mesmo ninguém.

Cadernos vs. celulares

Não faz sentido aparecer na aula sem caderno. E não faz sentido aparecer na aula com celular ligado; bote no modo avião antes de entrar na sala. As aulas são interativas e se não pretende participar e concentrar nesses 100 minutos, sugiro ficar fora e escolher uma outra maneira de passar teu tempo. Não é necessário (e obviamente nem suficiente) aparecer nas minhas aulas para passar.

Avaliação e faltas

Disclaimer. Eu suponho que os alunos desta turma escolheram se matricular por interesse em aprender seu conteúdo. O ideal seria ignorar assuntos irrelevantes de avaliação, presenças, carga horária, etc., e se jogar nos estudos.

Avaliação

A nota final de cada aluno vai ser principalmente baseada em um ou mais dos: (i) provas escritas; (ii) sua participação; (iii) trabalhos atribuidos; (iv) hw resolvidos (veja o FAQ relevante).

Cada aluno será responsável para manter organizado e bem escrito o seu caderno com todos os teoremas e exercícios que estudou durante a disciplina.

Presenças e faltas

A presença pela regulação da UFRN é obrigatória. Os alunos que não gostam/querem/podem aparecer nas minhas aulas ainda tem chances de ganhar até nota máxima e aprovar na disciplina. Ou seja: alunos que escolhem não participar ou aparecer nas aulas, e mesmo assim aparecem nas provas escritas e conseguem nota final de aprovação vão ter sua porcentagem de faltas ajustada para não reprovar por faltas. Esclarecimento: alunos que não conseguem nota final de aprovação não terão sua porcentagem de presença ajustada de jeito nenhum e por nenhum motivo.

Obviamente, alunos que não aparecem nas aula não terão como ganhar pontos de participação—duh!—nem acesso nos pontos de possíveis provas-surpresas.

As presenças/faltas serão cadastradas usando o sistema Plickers (veja o FAQ relevante).

Atrasados

Definição (atrasado). Seja $a$ aluno desta turma. Dizemos que $a$ é atrasado sse $a$ não está já sentado na sua mesa, com seu caderno já aberto, seu celular já desligado e na mochila, no momento que a aula começa.

Tentem estar presentes na sala da aula ANTES do horário do seu começo, e fiquem até o fim da aula.

Caso que alguém chega atrasado: não faz sentido bater na porta da sala de aula; não faz sentido cumprimentar nem o professor (não é mostra educação cumprimentar nesse caso—pelo contrário!) nem os amigos/colegas da aula. Entrando numa sala onde a aula já começou, tentem fazer sua entrada o menos possível notada por os participantes pois atrapalha a concentração de todos.

FAQs

Dynamic content

Pontos de participação

Provas

Provas surpresa. Note que em qualquer aula pode ter prova surpresa, cujos pontos são considerados «pontos extra», assim sendo possível tirar nota máxima (100), mesmo perdendo todas as provas surpresas.

U1 (CFR1)

Prova 1.1 (2023-04-14) { censored , uncensored , answers , correções }
Prova 1.2 (2023-05-26) { censored , uncensored , answers , correções }

U2 (CFR2)

Prova 2.1 (?)
Prova 2.2 (?)

U3 (IEA)

Prova 3.1 (2023-04-14) { censored , uncensored , answers , correções }
Prova 3.2 (?)
Prova 3.3 (?)

Homework (HW)

Leia bem o FAQ sobre hw. Note também que:

Homeworks são atribuidos também durante as aulas e no Zulip.
Homeworks marcados assim são auxiliares; tente apenas se tu tem resolvido uma parte satisfatória dos outros.

2023-03-08 (Intro) (1)

Trabalhe nos pré-requisitos.
Dê uma lida nos Capítulos 1 e 2.

2023-03-10 (IEA) (1)

Cap. 10: §«Permutações»
Escreva sozinho uma demonstração completa da unicidade de identidade numa estrutura de grupo. Quais leis tu precisou mesmo?
Demonstre a unicidade dos inversos.
Infira teoremas que envolvem mais que um dos três protagonistas da alma de grupo: a operação (binária), a identidade, e os inversos. Por exemplo: o inverso do inverso deve ser o quê? O inverso da identidade? Etc. (O Etc é importantíssimo!)
(Para quem não trabalhou ainda no IDMa:) Cap. 3: §«Primeiros passos»

2023-03-14 (CFR1) (1)

Cap. 8: §«Expressões com buracos»
Cap. 7: até §«Oito proposições simples»

2023-03-26 (Intro) (2)

A gente viu no #intro-lang-proofs › aplicando a mesma função nos dois lados como justificar (demonstrar) isso, descubrindo que é uma propriedade fundamental das funções. Desafio: usando uma linguagem de programação que já usou no IMD, mostre que ela não merece usar o termo «função» mostrando como quebrar essa regra. Proibido usar qualquer coisa de random. Postem tentativas/brigas/dúvidas no #programming.
Uma tentativa para resolver o hw anterior foi a seguinte: considerar, em JavaScript, que temos 1 == '1' mas f(1) != f('1') onde f é “a função” x => x + 1. O desafio deste hw é achar um motivo bom para desconsiderar essa como resposta válida para o hw anterior.

2023-03-30 (CFR1) (2)

Capítulo «Conjuntos»: até o primeiro intervalo de problemas

2023-03-31 (IEA) (2)

Capítulo «Teoria dos grupos»: até §«Tabelas de Cayley»

2023-04-03 (CFR1) (3)

Capítulo «Conjuntos»: até §«Tuplas».

2023-04-05 (IEA) (3)

Capítulo «Teoria dos grupos»: até p.447.
Demonstre a equivalência entre as duas definições alternativas de potência (x10.40)
Ache as ordens de todos os membros do grupo S₃
Sejam $G$ grupo e $a \in G$. Se $a^m = e$ para algum $m\in\mathbb{Z}_{\neq0}$, então $o(a)<\infty$.
Demonstre ou refute: G abeliano ⇔ (∀a,b:G)[ (ab)⁻¹ = a⁻¹b⁻¹ ]
Demonstre ou refute: G abeliano ⇔ (∀a,b:G)[ (ab)² = a²b² ]
Demonstre: Se para 3 consecutivos inteiros i, temos (∀a,b:G)[ (ab)ⁱ = aⁱbⁱ ], então G é abeliano.
Demonstre que trocando o 3 por 2 no hw anterior, vira-se indemonstrável.
Problemas: Π10.1, Π10.2, Π10.4, Π10.5, Π10.6, Π10.7

2023-04-10 (CFR1) (4)

Capítulo «Conjuntos»: até §«n-tuplas».
Como implementarias 2-tuplas usando (apenas) conjuntos “sujos”?

2023-04-12 (CFR1) (5)

Capítulo «Conjuntos»: até o fim

2023-04-18 (CFR1) (6)

Revise sobre conjuntos:
- Exercícios: x7.57; x7.58; x7.59; x7.63; x7.66; x7.67;
- Problemas: Π7.9; Π7.10; Π7.11; Π7.12; Π7.13; Π7.14; Π7.15; Π7.16
Capítulo «Funções»: até §«Expressões com buracos»
Justifique a notação Bᴬ para o espaço de funções (A→B)

2023-04-24 (CFR1) (7)

Capítulo «Funções»: até §«Currificação»
Ache as noções de conjuntos que correspondem às: 0, 1, (+), dos números.
Demonstre as “igualdades-entre-aspas” correspondentes às leis conhecidas desde ensino fundamental.

2023-04-28 (IEA) (5)

Capítulo «Teoria dos grupos»: até §«Subgrupos»
O que foi o ? da aula que apareceu nos tipos ? → G e ? → H?
Qual o tipo da (≤) que definimos na aula?
A (≤) é uma preordem? Ela é uma ordem parcial?
Sejam G grupo e K ⊆ H ⊆ G. Suponha que K,H≤G. Podemos inferir que K≤H?
No segundo critério visto na aula consideramos o dado G fin. Podemos substituir por H fin? O teorema/critério fica mais fraco ou mais forte assim?
No mesmo critério quais dados exatamente precisamos?

2023-05-04 (CFR1) (8)

Capítulo «Funções»: até §«Funções de graça»

2023-05-05 (IEA) (6)

Capítulo «Teoria dos grupos»: até §«Geradores» (cuidado: re-baixe o fmcbook pois o §«Conjugação de grupo», foi locomovido, e faz parte deste hw!
Problemas: Π10.1; Π10.2; Π10.7; Π10.8; Π10.11; Π10.12; Π10.13

2023-05-09 (IEA) (6)

Desafio: achar conjunto inicial $A$ no plano que demora chegar no $\langle A \rangle$ (conjunto convexo gerado pelo $A$).

2023-05-09 (CFR1) (8)

§«Jecções: injecções, sobrejecções, bijecções»
Problemas: Π8.5, Π8.6, Π8.14, Π8.17

2023-05-12 (IEA) (7)

Demonstre que as abordagens top-down e bottom-up concordam para a definição de ⟨A⟩.
Demonstre o que faltou para o teorema de Lagrange
- (i) cada linha tem membros frescos
- (ii) cada linha tem membros distintos dois-a-dois
Demonstre que $\mathcal L_H$ é uma partição de $\mathcal G$, e a $\mathcal R_H$ também.
Ache H≤𝒢 tais que $\mathcal L_H \neq \mathcal R_H$.

2023-05-12 (CFR1) (9)

Seja (~) uma relação de equivalência num conjunto $A$. Para qualquer $a ∈ A$, denote por $[a]_{\sim}$ o conjunto $\{x \mid x \sim a \}$. O $\{ [a]_{\sim} \mid a \in A \}$ é uma partição do $A$?
Alguém definiu: «Uma partição num conjunto A é uma função …». Adivinhe o … e justifique tal frase!
Defina uma ordem interessante no Partition(A).
Demonstre que se os dois quadradinhos do diagrama da aula comutam, o diagrama todo comuta.
Qual deve ser a próxima pergunta para perguntar depois de descubrir que const = curry outl?
Demonstre as leis de composição estilo point-full.
Qual seria a especificação do produto?
Qual seria a especificação de soma?
Tente achar outras implementações de união-disjuntora (soma)
Quais seriam os diagramas e funções relacionados à união-disjuntora?
Melhore nossa definição de iterações de funções, e demonstre umas propriedades interessantes sobre elas.
Até §«Definições estilo point-free»
Reveja a §«Funções de graça» e seus exercícios.
Problemas: Π8.12; Π8.13; Π8.14; Π8.16; Π8.19; Π8.20; Π8.22

2023-05-17 (CFR1) (10)

§«Funções parciais»
§«Funções inversas»
§«Definições recursivas»
Problemas: Π8.7; Π8.8; Π8.9; Π8.10; Π8.11; Π8.30

2023-05-19 (IEA) (8)

Demonstre que a improve : Set G → Set G é (⊆)-monotônica
Θ. Sejam H,K ≤ G. Demonstre: HK = KH ⇔ HK ≤ G
Seja N ≤ G. O.s.s.e.:
- (i) $\mathcal R_H = \mathcal L_H$
- (ii) $(\mathrm R_H) = (\mathrm L_H)$
- (iii) $N$ é fechado pelas conjugações
- (iv) $(\forall g \in G)[ gNg^{-1} \subset N ]$
- (v) $(\forall g \in G)[ gNg^{-1} = N ]$
- (vi) $(\forall g \in G)[ gN = Ng ]$
Até §«Teoria dos números revisitada»

2023-05-25 (IEA) (9)

Capítulo «Teoria dos grupos», até §«Morfismos»

2023-05-29 (IEA) (10)

Demonstre sem nenhuma consulta o último palpite da aula: $G/\ker{\varphi} \cong \mathrm{im}\varphi$
Capítulo «Teoria dos grupos», §«Kernel, Image»
Problemas: Π10.22; Π10.23; Π10.27; Π10.28

2023-05-31 (CFR2) (1)

Verifique cada uma das 8 implicações:
- f inj ⇔ f L-cancelável ⇔ f L-invertível
- f sobre ⇔ f R-cancelável ⇔ f R-invertível
Capítulo «Funções»: §«Uma viagem épica»; §«Retracções e secções»

Histórico

2023-03-06: Aula cancelada pela UFRN

2023-03-08: Pré e Introdução [video]

Introdução meta
Revisão: type errors, linguagem de demonstrações matemáticas
Exemplos: teoremas sobre a transitividade da (|)

2023-03-10: IEA (1): Introdução [video]

Os inteiros e sua estrutura
Propriedades de operações
Aridades, nulária, unária, e constantes
Os strings com concatenação
Associatividade e como a definir
Parseamento e árvore sintáctica
A idéia da abstração algébrica
Trade-off entre axiomas e modelos
O papel dum exemplo-guia para uma estrutura algébrica
Comutatividade
Permutações, sua notação, e o S₃
Enter Álgebra: a operação (∘)
Do exemplo-guia S₃ para a definição de grupo
inversos e um problema de escopo
«Existe único …» e como expressá-lo
Θ. (id-uniq)

2023-03-13: CFR1 (1): Introdução [video]

Set: tipos de conjuntos
Funções: Inferência
Set como um type constructor
Como introduzir um novo tipo: interface (como usar), como formar, igualdade
Interface de conjunto
buracos e funções de ordem superior
Sobre conjuntos heterogêneo
Prop vs Bool
Set(Set(Int)), etc.
uma mentira: subconjuntos vs embutimentos
o que significa «saber o A»
Igualdade, extensão, black boxes e suas conseqüências
duas maneiras de errar, dando uma definição

Aulas canceladas pela UFRN: (4×CFR1) + (2×IEA)

2023-03-29: CFR1 (2): Conjuntos [video]

Operações entre conjuntos e como defini-las
Complemento relativo (∖)
Comutatividade de operações
Diferença simétrica (∆)
Parseamento e precedência sintáctica
Diferença simétrica (2)
Os habitantes duma diferença simétrica
Complemento de conjunto
Powerset (℘)
Empty, Singleton, Universal, Inhabited
LEM e dupla negação
conjuntos finitos e o powerset-finito
união grande
interseção grande
sem medo
versões de set builder

2023-03-31: IEA (2): Grupos [video]

Definição de grupo
grupos aditivos vs multiplicativos
teoria dos grupos e as primeiras conseqüências
(canL) cancelamento pela esquerda
detalhamento das justificativas
aplicando a mesma função nos dois lados
como demonstrar com apenas um cálculo
(id-!) unicidade da identidade
(resR) resoluções únicas
(inv-id), (inv-inv), (inv-op)
igualdade não é exatamente simétrica
uns exemplos e nãoexemplos
como definir operações
tabelas Cayley e Grupoku™

2023-04-03: CFR1 (3): Conjuntos; Tuplas [video]

Sobre o LEM
Habitado vs Não-vazio
Brouwer vs Hilbert
Θ. 𝒜∩ℬ hab ⇒ ⋂𝒜 ⊆ ⋃ℬ
Um primeiro papo sobre especificação
Interface das tuplas
Equações fundamentais das tuplas
Igualdade entre tuplas
Criando tipos mais complexos usando Set e Pair
Q: Podemos definir um novo «pertence» para tuplas?
Podemos inferir Ø∈A? Ø⊆A?

2023-04-05: IEA (3) [video]

Mais sobre Grupoku
umas primeiras potências em grupo
associatividade sintáctica e precedência sintáctica
duas definições de potências para n ≥ 0 e sua equivalência
potências negativas
diagramas comutativos
ordem de grupo e de membro de grupo
o ℘A munido com qual das (∪),(∩),(\),(∆), vira um grupo?

2023-04-10: CFR1 (4) [video]

3-tuplas como tipo primitivo
especificação vs implementação
como implementar 3-tuplas usando 2-tuplas
a importância de ser implementação-agnóstico
n-tuplas para outros n
desafio: implementar 2-tuplas
o que seria uma 1-tupla?
sobre 0-tuplas
existência e unicidade da 0-tupla
o muito mal-nomeado void
teaser: tuplas de tamanho infinito e seqüências
teaser: sacolas
o que podemos concluir sobre a cardinalidade do conjunto $\{ f(x,y) \mid x,y \in \{u,v\}\}$?

2023-04-12: CFR1 (5) [video]

Conjunto indexado por I
Família indexada por I (I-tupla)
família indexada vs conjunto indexado
Como solicitar um membro arbitrário dum conjunto indexado
Usando um produto I×J como conjunto de índices
Seqüências
Famílias indexadas para implementar outros tipos
2-tuplas como conjuntos e um roubo “definindo” funções
produto generalizado (de famílias indexadas)
nível-coração: escolhedores

2023-04-14: Prova CFR1.1 & Prova IEA.1

2023-04-17: CFR1 (6) [video]

De operacões binárias para operações generalizadas
definições recursivas de operações que operam em seqüências
Somatórios sem órdem/agrupamento especificados
Funções: black box, descrição, especificação, igualdade, notação
Q: sobre funções parciais
Espaço de funçoẽs (A→B) ou Bᴬ
Vazio como domínio ou codomínio
Tipo vazio e tipo unit: discussão sobre o mentiroso void
Definindo funções com buracos

2023-04-19: CFR1 (7) [video]

graph : (A→B) → Set(A×B)
o espaço de funções (A→B)
diagramas internos vs externos
setas: → vs ↦
igualdade extensional vs intensional
«aquele x tal que»
definição por casos
abstração com buracos
funções de ordem superior
currificação e descurrificação
aplicação parcial
$|B^A| = |B|^{|A|}$

2023-04-24: CFR1 (8) [video]

recap: currificação e associatividades sintácticas
de buracos para lambdas
como funciona um cálculo
funções anônimas e compração com set builder
semântica vs sintaxe, nomes de símbolos vs nomes de noções
a notação lambda
metáforas com almas e corpos
Q: funções anônimas de aridades maiores?
Q: buracos vs lambdas e ordem dos parametros
parenteses implícitas e convenções
sobre binding e ocorrências de variáveis livres
dois exemplos de abstrações e inferência de tipos polimórfica
o açúcar sintáctico λ(x,y).coisa
como cálcular: β-redex, β-redução
chegando à idéia do α-renomeamento
introdução de lambdas em linguagens de programação “populares”
plicker: calcule a expressão-λ
sobre a η-conversão

2023-04-26: IEA (4) [video]

proposições disfarçadas como igualdades
Θ. o(a) = n ⇔ existem exatamente n potências distintas de a
Θ. aᵐ = e ⇔ o(a) | m
Subgrupos: duas idéias para chegar na sua definição
um grupo de ordem infinita, pode ter subgrupos de ordem finita?

2023-04-28: CFR1 (9) [video]

recap: curry & uncurry
operações de números vs operações de conjuntos
igualdade-entre-aspas de conjuntos
mais leis e mais conceitos para investigar
sobre a idéia de «usar conjuntos para fundamentar a matemática»?
Funções de graça
função identidade
função inclusão
Podemos considerar, sendo conjuntistas, que ℕ⊆ℤ?
não é ousadia usar o nome identidade?
plicker: calcule uma expressão-λ

2023-04-28: IEA (5) [video]

subgrupos triviais e não-triviais
podemos usar o termo subgrupo mesmo?
é a mesma operação mesmo?
Q: podemos definir uma nova operação num subgrupo?
O plano complexo e sua interpretação geométrica
uns (sub)grupos de complexos
Q: conclusões sobre (⊆) e (≤)
Critéria de ser subgrupo e o que significa critério
primeiro critério
segundo critério e uma dica sobre como demonstrar
terceiro critério
o que acontece se apagar um dado do contexto dum teorema

2023-05-03: CFR1 (10) [video]

recap: λ, β, η, α
η-conversão
Como interpretar uma função aplicada nela mesmo
Manifestações dos β,η para outros tipos: conjuntos e 2-tuplas
função-imagem
função-pré-imagem
sobre composição
Plicker: a função-imagem respeita uniões e interseções?

2023-05-05: IEA (6) [video]

Qual o tipo mesmo da (≤)?
Interseção de subgrupos é subgrupo
(Como) podemos estender o teorema sobre interseção de subgrupos?
Tentativa de estender para união
O que precisamos demonstrar para estendar sobre interseções arbitrárias?
Q: podemos só demonstrar o teorema sobre as interseções arbitrárias?
Duas relações que acabam sendo de equivalência: $R_H$ e conjugação
Subgrupo gerado por membro de grupo: ⟨a⟩
Subgrupo gerado por subconjunto de grupo: ⟨A⟩ (bottom-up)

2023-05-08: IEA (7) [video]

recap: subgrupo gerado por A: bottom-up
subgrupo gerado por A: top-down
conjuntos convexos: bottom-up e top-down do convex hull
mais recap: as relações de equivalência de conjugados e do $\mathrm R_H$
investigando a $\mathrm R_H$
- Caso ambos no H
- Caso um dentro um fora do H
- Casp ambos fora do H
A partição induzida pela $\mathrm R_H$

2023-05-08: CFR1 (11) [video]

inversão de função
injetividade, sobrejetividade, bijetividade
funções de graça: f×g
um desafio parecido: duas funções com o mesmo domínio
tentando definir uma f∪g, em forma parecida
o que podemos inferir sobre duas funções, sabendo que sua composição é bijetiva?

2023-05-10: IEA (8) [video]

Coclasses de subgrupo
Partição do grupo 𝒢 pelas coclasses de H
Demonstração do teorema de Lagrange
indice de subgrupo
Corolário de Lagrange: subgrupos de G com o(G) primo
a notação Hab²Kb⁻¹KKcaH…etc
Q: $\mathcal L_H \stackrel?= \mathcal R_H$

2023-05-10: CFR1 (12) [video]

função constante vs função invariável
iterações de endomapas
associatividade de composição
composição respeita as -jetividades
definições e demonstrações com pontos
botando na mesa as definições recursivas

2023-05-12: CFR1 (13) [video]

Partições e coberturas de conjuntos
Diagramas comutativos
Leis da composição (assoc. e ident.)
Estilo tácito (aka: point-free, pointless)
a função const : β → α → β e um desafio
Uma das leis de identidade descrita como diagrama comutativo
id é uma identidade para a composição
recap: funções e diagramas relacionados ao produto (×)
única função que faz um diagrama comutar
união disjunta: no caminho de achar a soma de conjuntos
Plicker: a ℘f respeita as uniões e as interseções?

2023-05-15: CFR1 (14) [video]

Fixpoints
Definindo iterações melhor (sem pontos)
Mais funções de graça: pointwise, diagonal, pareamento, produto
Uma vantagem de usar funções descurrificadas
conjuntista-vs-tipista sobre funções (e pouco em geral)
implementações usando funções
funções parciais e não-deterministas
união-disjunta: especificação-vs-implementação, copareamento, coproduto

2023-05-17: CFR1 (15) [video]

equações recursivas como sistemas de incógnitos
mais funções de graça: função caraterística

2023-05-19: IEA (9) [video]

Sobre a top-down e bottom-up abordagem do subgrupo gerado por um subconjunto
demonstração que as duas abordagens definam o mesmo subgrupo
improve e seus fixpoints
Uns grupos de inteiros (aditivos e multiplicativos)
Mais (corolários de) Lagrange
partições feitas por coclasses e as relações módulo subgrupo
o teorema de Euler (FMC1-IDMa) como corolário de Lagrange
HK ≤ G? KH ≤ G?
Um exemplo onde $\mathcal L_H \neq \mathcal R_H$
Uma primeira definição de subgrupo normal e umas equivalentes

2023-05-22: IEA (10) [video]

Conjunto quociente
Congruências
Grupo quociente
Entendendo melhor os grupos aditivos ℤ/mℤ
Definições equivalentes para subgrupo normal
Significado de igualdade para 3 tipos diferentes
Relação de equivalência sobre uma partição
Aviso sobre um erro comum usando gN=Ng ou HK=KH
{e,ψ,ψ²} ⊴ S₃?

2023-05-24: IEA (11) [video]

Θ. HK = KH ⇔ HK ≤ G
O grupo das simetrias de um triangulo equilátero
Quão “novo” é realmente esse grupo?
“tem a cara” de S₃ e como formalizar isso
Desenhando os (N)Sub(S₃) e (N)Sub(ℤ/6ℤ)
Homomorfismo
Isomorfismo
Um homomorfismo trivial
Critério de homomorfismo

2023-05-26: Prova CFR1.2

2023-05-29: IEA (12) [video]

possíveis conflitos sobre a definição de homomorfismo
Critérion de homomorfismo de grupos
kernel (núcleo) e imagem
Θ. φ injetiva ⇔ kerφ = {⋆}
Qual a mais forte afirmação sobre kerφ?
Θ. kerφ ⊴ A
Θ. G/kerφ ≅ imφ
kernel ⇒ normal & kernel ⇐ normal ??

2023-05-31: CFR2 (1) [video]

retrações e secções
funções (L/R)-invertíveis
funções (L/R)-canceláveis
como dizer Seja a ∈ A. sem pontos
confundindo aplicações com composições

2023.1 FMC2, turma de Thanos

Info

Pré-requisitos

Conteúdo

CFR1: Conjuntos, Funções (30h)

CFR2: Funções, Relações (30h)

IEA: Introdução a Estruturas Algébricas (30h)

Objetivos de aprendizagem

CFR1: Conjuntos, Funções

CFR2: Funções, Relações

IEA: Introdução a Estruturas Algébricas

Bibliografia e referências

Principal

CFR1: Conjuntos, Funções

CFR2: Funções, Relações

IEA: Introdução a Estruturas Algébricas

Auxiliar

Dicas

Links

Tecnologias e ferramentas

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Avaliação e faltas

Avaliação

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U1 (CFR1)

U2 (CFR2)

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2023-03-08 (Intro) (1)

2023-03-10 (IEA) (1)

2023-03-14 (CFR1) (1)

2023-03-26 (Intro) (2)

2023-03-30 (CFR1) (2)

2023-03-31 (IEA) (2)

2023-04-03 (CFR1) (3)

2023-04-05 (IEA) (3)

2023-04-10 (CFR1) (4)

2023-04-12 (CFR1) (5)

2023-04-18 (CFR1) (6)

2023-04-24 (CFR1) (7)

2023-04-28 (IEA) (5)

2023-05-04 (CFR1) (8)

2023-05-05 (IEA) (6)

2023-05-09 (IEA) (6)

2023-05-09 (CFR1) (8)

2023-05-12 (IEA) (7)

2023-05-12 (CFR1) (9)

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2023-05-19 (IEA) (8)

2023-05-25 (IEA) (9)

2023-05-29 (IEA) (10)

2023-05-31 (CFR2) (1)

Histórico

2023-03-06: Aula cancelada pela UFRN

2023-03-08: Pré e Introdução [video]

2023-03-10: IEA (1): Introdução [video]

2023-03-13: CFR1 (1): Introdução [video]

Aulas canceladas pela UFRN: (4×CFR1) + (2×IEA)

2023-03-29: CFR1 (2): Conjuntos [video]

2023-03-31: IEA (2): Grupos [video]

2023-04-03: CFR1 (3): Conjuntos; Tuplas [video]

2023-04-05: IEA (3) [video]

2023-04-10: CFR1 (4) [video]

2023-04-12: CFR1 (5) [video]

2023-04-14: Prova CFR1.1 & Prova IEA.1

2023-04-17: CFR1 (6) [video]

2023-04-19: CFR1 (7) [video]

2023-04-24: CFR1 (8) [video]

2023-04-26: IEA (4) [video]

2023-04-28: CFR1 (9) [video]

2023-04-28: IEA (5) [video]

2023-05-03: CFR1 (10) [video]