2024.1 Estruturas Algébricas

Info

Pré-requisitos

É essencial¹ ter aprendido bem o conteúdo transversal de FMC1-IDMa. O conteúdo da [FMC2-IEA][IEA-self] não é considerado pré-requisito, pois vamos (re)estudá-lo e aprofundar nesses assuntos mais do que as apenas 30h de IEA permitem. Sem aprender esses assuntos primeiro, não faz sentido se matricular nesta disciplina.

¹ Imagine chegar em Polo Aquático II, sem ter aprendido mesmo as Natação I e II primeiro; ainda mais sem sequer ter entrado na agua na sua vida inteira!

(Obs.: aprender ≠ passar.)

Então—ANTES de começar—é bom ter estudado:

• [FMC1-Intro][Intro-self]: cap. 1,2 do fmcbook, playlist;
• FMC1-IDMa: cap. 3 do fmcbook, playlist;

Além disso, é necessário que os alunos matriculados têm tempo e vontade para estudar, fazer os (muitos) trabalhos atribuídos, etc.

(Obs.: estudar ≠ ler.)

Conteúdo

Álgebra abstrata

1. Magmas, semigroups, monoids, groups, abelians, semilattices
   • Homomorfismos e sub-(…) e sua critéria
   • Ações: em cima de conuntos; em cima de objeto de uma categoria ℂ
   • kernels, images, normal groups, quotient groups, e teoremas de isomorfismo
   • Teoremas de representação
2. Aneis, Módulos; Corpos, Espaços Vetoriais
3. Teoria de Galois; números p-ádicos

Teoria das Categorias

1. Parte A
   • Definição de categoria e exemplos: 𝟘, 𝟙, 𝟚, …, 𝕟; categorias de estruturas (𝐒𝐞𝐦𝐢𝐠𝐫𝐨𝐮𝐩, 𝐌𝐨𝐧𝐨𝐢𝐝, 𝐏𝐫𝐨𝐬𝐞𝐭, 𝐏𝐨𝐬𝐞𝐭, 𝐆𝐫𝐨𝐮𝐩, 𝐀𝐛𝐞𝐥, etc.); monóides como categorias ℂ(𝓜), prosets como categorias ℂ(𝓟)
   • Dualidade e a definição de categoria oposta.
   • setas especiais: mono, epi, split mono, split epi, e iso.
   • definições (como especificações) por propriedades universais e diagramas comutativos, e unicidades a menos de isomorfismo único; objetos terminais e inicias; produtos e coprodutos
   • construções de categorias: ℂᵒᵖ; ℂ/C & C/ℂ; $\mathbb{C}^{\rightarrow}$; categoria a partir de ℂ e um diagrama dela
   • functors e suas leis e propriedades e a categoria 𝐂𝐚𝐭
2. Parte B
   • Transformações naturais
   • a categoria (ℂ→𝔻)
   • equalizers e coequalizers
   • limits e colimits
   • pullbacks e pushouts
   • exponenciais
   • quocientes
3. Parte C

Álgebra universal e efeitos computacionais

1. Teorias algébricas (equacionais) $\mathsf T = (\Sigma_{\mathsf T}, {\mathcal E}_{\mathsf T})$
   • Assinatura, $\Sigma_{\mathsf T}$-termo num contexto, $\Sigma_{\mathsf T}$-equação,
   • exemplos de teorias algébricas
   • T-interpretações, T-modelos, T-homomorfismos
   • categorias 𝐌𝐨𝐝𝐞𝐥(T)
   • propriedades de teorias algébricas e seus modelos modelo trivial e demonstração que a teoria dos aneis nonzero não é algébrica (equacional)
   • modelos livremente gerados por um conjunto $X$: $\mathrm{Tree}_{\mathsf T}(X)$ e $\mathrm{Free}_{\mathsf T}(X)$
2. Generalizações de teorias algébricas
   • T-interpretações e T-modelos fora do mundo 𝐒𝐞𝐭
   • aridades e parametros
3. Programação e efeitos computacionais algébricos

Objetivos de aprendizagem

Prática com o uso das técnicas de demonstração e refutação matemática. Familiarização com a formulação de especificações, e suas implementações matemáticas. Familiarização com o uso de diagramas comutativos em definições e demonstrações, e com especificações via propriedades universais. Prática com a escrita de especificações matemáticas e com o uso das técnicas de demonstração matemática. Apreciar a conexão entre especificação e implementação. Familiarização com o raciocínio “sem pontos” (a saber, sem mencionar elementos dos conjuntos), através do composições de funções, e suas aplicações em programação. Compreensão do papel da álgebra no estudo de estruturas de interesse computacional. Prática das técnicas de demonstração matemática e do uso do raciocínio equacional. Apreciar a conexão entre axiomas e seus modelos, e o conceito de independência lógica. Familiarização com a linguagem básica e as idéias principais da Teoria das Categorias, incluindo o uso de diagramas comutativos para expressar proposições (leis e teoremas), especificações, e definições.

Bibliografia e referências

Conhece o libgen?

Principal

• Eu: [fmcbook]: Cap: «Teoria dos Grupos»; «Estruturas Algébricas»; «Teoria das Categorias»
• Aluffi (2009): Algebra, Chapter 0 (Cap: II)
• Awodey: Category Theory (2nd ed.)

Auxiliar

• Riehl: Category Theory in Context
• Jacobs & Rutten: (Co)algebras and (Co)induction
• Halmos: Lectures on Boolean Algebras (1963)
• Bell & Machover: A course in Mathematical Logic (cap. 4)
• Herstein (1975): Topics in Algebra, 2nd ed.
• Mac Lane & Birkhoff (1999): Algebra, 3rd ed.
• Barr & Wells (1998): Category Theory for Computing Science, 2nd ed., 2020 reprint
• Bird & de Moore (1997): The Algebra of Programming
• Goldblatt (1979): Topoi
• Wells (1993): Communicating Mathematics: Useful ideas from computer science (in American Mathematical Monthly, Vol 120, No. 5, pp.397–408)

Para cada um dos assuntos que tratamos, procure também a secção «Leitura complementar» no capítulo correspondente do fmcbook para mais referências.

Dicas

Veja minha página de dicas para estudantes.

Links

• Lean (veja também o Lean web editor e o livro Theorem Proving in Lean)

Tecnologias e ferramentas

Obs.: As tecnologías/ferramentas seguintes podem mudar durante a disciplina—exceto a primeira.

1. PAPEL (um caderno para dedicar à disciplina) e LAPIS/CANETA.
2. Zulip (leia o FAQ).
3. Pouco de (La)TeX (veja o minicurso TeX 2018.2). Online editor/compilador: Overleaf.

Regras

1. Nunca escreva algo que você mesmo não sabe explicar: (i) o que significa; (ii) seu papel na tua resolução. Por exemplo: um aluno escreveu a frase seguinte na sua demonstração: «Como f é cancelável pela esquerda temos que g=h». Ele deve saber o que significa ser cancelável pela esquerda e também explicar como isso foi usado e/ou o que isso tem a ver com essa parte da sua demonstração.
2. Qualquer trabalho poderá ser questionado em forma de prova oral, em modo privado ou aberto. Se um aluno não consegue explicar o que ele mesmo escreveu numa resolução, será considerado plágio (veja abaixo).
3. Participando, nunca dê uma resposta que tu não pensou sozinho, exceto dando os créditos correspodentes.
4. Não tente “forçar a barra” perguntando ou respondendo coisas aleatórias com objetivo único de ganhar pontos. Os pontos de participação não correspondem em apenas perguntas ou dúvidas que mostram interesse. O interesse é implícito pelo fato que tu escolheu matricular nesta turma—não vale pontos.
5. Não procurem resoluções em qualquer lugar fora dos indicados em cada homework. O único recurso aceitável para procurar ajuda é no nosso Zulip (especificamente seus canáis públicos—não DM) e a monitoria.
6. Proibido consultar o apêndice de resoluções do fmcbook durante a disciplina exceto quando for explicitamente permitido por mim. (Os apêndices de dicas são permitidos sim.)

Uns deveres dos alunos

1. Visitar o site e o Zulip da disciplina pelo menos uma vez por dia durante o semestre. (Qualquer coisa postada no site ou no Zulip da disciplina será considerada como conhecida por todos os alunos da turma.)
2. Estudar o conteúdo lecionado e tentar resolver todos os trabalhos atribuidos.
3. Participar no Zulip diariamente, compartilhando tuas resoluções para receber feedback, e checando as resoluções de outros colegas para dar feedback.
4. Checar e atender seu email cadastrado no SIGAA pelo menos uma vez por dia durante o semestre.
5. Participar nas aulas! Obs.: tendo uma dúvida durante a aula, levante a mão para solicitar “a fala” e assim que a receber, pergunte! Não espere o fim da aula para discutir tua dúvida em “modo particular”! A maioria das vezes eu vou negar isso e pedir ao aluno iniciar a discussão no Zulip ou na próxima aula.
6. Participar nas aulas de exercícios de monitoria e utilizar seus horários de tirar dúvidas.

(Veja também os FAQs relevantes.)

Sobre plágio

1. Plágio detectado implica que o aluno será reprovado imediatamente por nota e por faltas.
2. Entregar tuas resoluções para um aluno copiar é proibido do mesmo jeito, e também não ajuda mesmo ninguém.

Cadernos vs. celulares

Não faz sentido aparecer na aula sem caderno. E não faz sentido aparecer na aula com celular ligado; bote no modo avião antes de entrar na sala. As aulas são interativas e se não pretende participar e concentrar nesses 100 minutos, sugiro ficar fora e escolher uma outra maneira de passar teu tempo. Não é necessário (e obviamente nem suficiente) aparecer nas minhas aulas para passar.

Avaliação e faltas

Disclaimer. Eu suponho que os alunos desta turma escolheram se matricular por interesse em aprender seu conteúdo. O ideal seria ignorar assuntos irrelevantes de avaliação, presenças, carga horária, etc., e se jogar nos estudos.

Avaliação

A nota final de cada aluno vai ser principalmente baseada em um ou mais dos: (i) provas escritas; (ii) sua participação; (iii) trabalhos atribuidos; (iv) hw resolvidos (veja o FAQ relevante).

Cada aluno será responsável para manter organizado e bem escrito o seu caderno com todos os teoremas e exercícios que estudou durante a disciplina.

Presenças e faltas

A presença pela regulação da UFRN é obrigatória. Os alunos que não gostam/querem/podem aparecer nas minhas aulas ainda tem chances de ganhar até nota máxima e aprovar na disciplina. Ou seja: alunos que escolhem não participar ou aparecer nas aulas, e mesmo assim aparecem nas provas escritas e conseguem nota final de aprovação vão ter sua porcentagem de faltas ajustada para não reprovar por faltas. Esclarecimento: alunos que não conseguem nota final de aprovação não terão sua porcentagem de presença ajustada de jeito nenhum e por nenhum motivo.

Obviamente, alunos que não aparecem nas aula não terão como ganhar pontos de participação—duh!—nem acesso nos pontos de possíveis provas-surpresas.

As presenças/faltas serão cadastradas usando o sistema Plickers (veja o FAQ relevante).

Atrasados

Definição (atrasado). Seja $a$ aluno desta turma. Dizemos que $a$ é atrasado sse $a$ não está já sentado na sua mesa, com seu caderno já aberto, seu celular já desligado e na mochila, no momento que a aula começa.

Tentem estar presentes na sala da aula ANTES do horário do seu começo, e fiquem até o fim da aula.

Caso que alguém chega atrasado: não faz sentido bater na porta da sala de aula; não faz sentido cumprimentar nem o professor (não é mostra educação cumprimentar nesse caso—pelo contrário!) nem os amigos/colegas da aula. Entrando numa sala onde a aula já começou, tentem fazer sua entrada o menos possível notada por os participantes pois atrapalha a concentração de todos.

FAQs

• Zulip
• Plickers
• Homework (hw) & caderno
• Vídeo

Dynamic content

Provas

Provas surpresa. Note que em qualquer aula pode ter prova surpresa, cujos pontos são considerados «pontos extra», assim sendo possível tirar nota máxima (100), mesmo perdendo todas as provas surpresas.

Informação sobre as provas será postada aqui.

Prova 1

• Prova 1 / 100pts (2024-04-17) { censored , uncensored , answers , correções }

Prova 2

Prova 3